\documentstyle[11pt]{article}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent
{\Large\bf KP 方程式}

\ \vspace{0mm}\\
２次元の KdV 方程式である Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程式
$$
       (u_t + 6 u u_t + u_{xxx})_x + \alpha u_{yy} = 0 \ \ \ \ \  ( \alpha = \pm 1)
$$
の解は、
$$
     u(x,y,t) = 2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \log f(x,y,t)
$$
と表せれる。

  ただし、$f(x,y,t)$ は、
\begin{itemize}
\item
$\alpha = 1$  (１ソリトン解)
$$
     f = 1 + \exp(\eta)
$$ $$
     \eta = k ( x + p y - \omega t)
$$ $$
     \omega = k^2 + \alpha p^2
$$

\item  
$\alpha = 2$ (２ソリトン解)

$$
     f = 1 + \exp(\eta_1) + \exp(\eta_2) + A_{12} \exp(\eta_1 + \eta_2)
$$ $$
     \eta_i = k_i ( x + p_i y - \omega_i t)    \ \ \ \ \ \    ( {\rm where} \ \ i = 1,2 )
$$ $$
     \omega_i = k_i^2 + \alpha p_i^2       \ \ \ \ \ \ \ \ \ \          ( {\rm where} \ \ i = 1,2 )
$$ $$
     A_{12} = \frac{ 3 (k_1 - k_2)^2 - \alpha (p_1 - p_2)^2 }{ 3 (k_1 + k_2)^2 - 
\alpha (p_1 - p_2)^2 }
$$

\end{itemize}
である。

   ただし、ソリトンは $x$ 軸に対して $\tan^{-1} p$ の角度で伝播する。
   また、$k$ は、ソリトンの波数に相当する量である。

\ \vspace{0mm}\\
\noindent
{\bf 参考文献}\vspace{3mm}\par

   和達三樹 著：現在の物理学 14 非線形波動：岩波書店
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