KP 方程式

２次元の KdV 方程式である Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程式

(u_{t} + 6uu_{t} + u_{xxx})_{x} + αu_{yy} = 0 (α = ±1)

の解は、

u(x, y, t) = 2\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} log f(x, y, t)

と表せれる。ただし、 f(x, y, t) は、

• α = 1 (１ソリトン解)

f = 1 + exp(η)
η = k(x + py − ωt)
ω = k^{2} + αp^{2}

• α = 2 (２ソリトン解)

f = 1 + exp(η_{1}) + exp(η_{2}) + A_{12} exp(η_{1} + η_{2})
η_{i} = k_{i}(x + p_{i}y − ω_{i}t) (where i = 1, 2)

ω_{i} = k_{i}^{2} + αp_{i}^{2} (where i = 1, 2)

A_{12} = \frac{3(k_{1} − k_{2})^{2} − α(p_{1} − p_{2})^{2}}{3(k_{1} + k_{2})^{2} − α(p_{1} − p_{2})^{2}}

である。

ただし、ソリトンは x 軸に対して tan^{−1} p の角度で伝播する。また、 k は、ソリトンの波数に相当する量である。

参考文献

和達三樹著：現在の物理学 14 非線形波動：岩波書店